IMAGEN EN GEOGEBRA
PROYECTO REALIZADO
martes, 8 de octubre de 2019
lunes, 7 de octubre de 2019
Lineas de Bèizer
Curva de Bézier
Se
denomina curvas de Bézier a
un sistema que se desarrolló hacia los años 1960 para
el trazado de dibujos técnicos, en el diseño aeronáutico y en el de
automóviles. Su denominación es en honor a Pierre Bézier,
quien ideó un método de descripción matemática de las curvas que se comenzó a
utilizar con éxito en los programas de CAD.
Las Curvas
según Bézier
Las curvas de Bézier pueden tener forma recta o
realmente curva; algunos la denominan como ‘líneas de Bézier’. La forma de una
curva o línea está controlada por la posición de sus nodos y sus puntos de
control.
·
Nodo: Un
nodo no es más que un punto en el espacio que sirve para unir el principio y el
final de un trayecto. Para crear cualquier trayecto necesitamos como mínimo 2
nodos. Para crearlo basta hacer clic en la posición deseada.
·
Trayecto: es la
línea recta o curva formada por la unión de dos nodos.
·
Puntos de control: cada nodo
tiene por lo menos un punto de control, que funciona a modo de palanca,
manecilla o manejador y permite modificar el trayecto respectivo.
·
Curva: es la
suma de todos los trayectos necesarios para crear una forma y puede estar
constituída por dos o muchísimos nodos.
Historia
Las curvas de
Bézier fueron publicadas por primera vez en 1962 por el ingeniero francés Pierre
Bézier y posteriormente, trabajando en la Renault,
las usó con abundancia en el diseño de las diferentes partes del automóvil. Las
curvas fueron desarrolladas por Paul de
Casteljau usando el algoritmo que
lleva su nombre. Se trata de un método numéricamente
estable para evaluar las curvas de Bézier.
Posteriormente,
los inventores del PostScript, lenguaje que permitió el
desarrollo de sistemas de impresión de alta calidad desde el ordenador,
introdujeron en ese código el método de Bézier para la generación del código de
las curvas y los trazados. El lenguaje PostScript sigue empleándose ampliamente
y se ha convertido en un estándar de calidad universal; por ello, los programas
de diseño
vectorial como Adobe
Illustrator, el extinto Macromedia FreeHand y Corel
Draw, tres de los programas más importantes de dibujo vectorial y
otros como Inkscape, denominan «bézier» a algunas de
sus herramientas de dibujo, y se habla de «trazados bézier», «pluma bézier»,
«lápiz bézier», etc. Su facilidad de uso la ha estandarizado en el diseño gráfico, extendiéndose también a
programas de animación vectorial, como Adobe
Flash, y retoque fotográfico (bitmap),
como Photoshop y Gimp,
donde se usa para crear trazos, formas cerradas o selecciones.
La idea de
definir geométricamente las formas no es demasiado compleja: un punto del plano
puede definirse por coordenadas. Por ejemplo, un punto A tiene unas coordenadas
(x1, y1) y a un punto B le corresponde (x2,y2).
Para trazar una recta entre ambos basta con conocer su posición. Si en lugar de
unir dos puntos con una recta se unen con una curva, surgen los elementos
esenciales de una curva Bézier; los puntos se denominan «puntos de anclaje» o
«nodos». La forma de la curva se define por unos puntos invisibles en el
dibujo, denominados «puntos de control», «manejadores» o «manecillas».
Aplicaciones
Gráficos de ordenador
Las curvas de
Bézier han sido ampliamente usadas en los gráficos generados por ordenador para
modelado de curvas suaves. Como la curva está
completamente contenida en la envolvente convexa de los puntos de control,
dichos puntos pueden ser visualizados gráficamente sobre el área de trabajo y
usados para manipular la curva de una forma muy intuitiva. Las transformaciones
afines tales como traslaciones y rotaciones pueden ser aplicadas, con gran
facilidad, a las curvas, aplicando las transformaciones respectivas sobre los
puntos de control.
Las curvas
cuadráticas y cúbicas son muy corrientes. Las curvas de grados superiores son
más difíciles de evaluar. Cuanto más complejas son las superficies que se
necesitan, las curvas de bajo orden son menos apropiadas. Para garantizar la
suavidad de las curvas el punto de control en el que se juntan dos curvas y el
punto de control sobre cualquiera de los lados debe ser colineal. Esta opción
está frecuentemente desactivada en programas como Adobe
Illustrator o Inkscape.
Estas curvas poli-Bézier pueden ser observadas en el formato de archivo SVG.
El método más
simple para rasterizar una curva de Bézier es
evaluarla en muchos puntos espaciados, muy próximos entre sí, y escanearla aproximando
la secuencia de segmentos lineales.
Esta manera de
proceder no garantiza un resultado con la suficiente suavidad porque los puntos
pueden estar espaciados demasiado separados. A la inversa, se pueden generar
bastantes puntos de control en áreas donde la curva está cercana a la forma
lineal.
Un método
adoptado, muy común, es la subdivisión recursiva, en el que los puntos de
control de la curva son ajustados para ver si la curva se aproxima a segmentos
lineales sin pequeñas tolerancias. Si esto no se logra, la curva es subdividida
paramétricamente en dos segmentos y y el
mismo procedimiento se aplica por recursividad a cada mitad.
También hay
métodos que usan la diferenciación, pero se debe tener cuidado y analizar los
errores de propagación. Los métodos analíticos donde un desdoble es intersecado
con cada línea escaneada hallando raíces de polinomios de grado tres (por
segmentación cúbica) y con múltiples raíces, pero no son frecuentes en la
práctica.
Síntesis de sonido
La síntesis de
Bézier es un nuevo método de síntesis de ondas sonoras que se puede usar para
crear sonidos usando curvas de Bézier.
PRACTICA EN GEOGEBRA
lunes, 30 de septiembre de 2019
Graficación 2D
La
computación gráfica 2D
- sobre todo de modelos bidimensionales (como
modelos geométricos, texto e imágenes digitales 2D) y por técnicas específicas
para ellos.
La palabra puede referirse a la rama de las
ciencias de la computación que comprende dichas técnicas, o a los propios
modelos.
La computación gráfica 2D se utiliza principalmente
en aplicaciones que fueron desarrolladas originalmente sobre tecnologías de
impresión y dibujo tradicionales, tales como tipografía, cartografía, dibujo
técnico, publicidad, etc. En estas aplicaciones, la imagen bidimensional no es
sólo una representación de un objeto del mundo real, sino un artefacto
independiente con valor semántico añadido; los modelos bidimensionales son
preferidos por lo tanto, porque dan un control más directo de la imagen que los
gráficos 3D por computadora (cuyo enfoque es más semejante a la fotografía que
a la tipografía).
Transformaciones
geométricas
• Con los algoritmos de primitivas ya podemos dibujar
en pantalla
• El siguiente paso consiste en permitir modificar o
manipular dichas primitivas à
Transformaciones Geométricas
– Para poder implementar aplicaciones de diseño
– Para poder
realizar animaciones
– Para
interactuar con la escena
• Las
transformaciones básicas que se necesitan son:
– Traslación:
cambios en la posición
– Rotación:
cambios en la orientación
– Escalado: cambios en el tamaño
– Sesgado
TRASLACION
Una traslación es el
movimiento en línea recta de un objeto de una posición a otra. Movimiento de
una figura, sin rotarla ni voltearla. "Deslizar".
La figura sigue viéndose exactamente igual, solo
que en un lugar diferente. Se aplica una transformación en un objeto para
cambiar su posición a lo largo de la trayectoria de una línea recta de una
dirección de coordenadas a otra.
CARACTERISTICAS
o Se traslada un punto de la
posición coordenada (X, Y) a una nueva posición (x’, y’) agregando distancias
de traslación, Tx y Ty, a las coordenadas originales: x’ = x + Tx, y’ = y +
Ty.
o El par de distancia de
traslación (Tx, Ty) se denomina también vector de traslación o bien vector de
cambio.
o Los polígonos se trasladan
agregando las distancias de traslación especificadas a las coordenadas de cada
punto extremo de la línea en el objeto.
o Los objetos trazados con
curvas se trasladan cambiando las coordenadas definidoras del objeto. Para
cambiar la posición de una circunferencia o elipse, se trasladan las
coordenadas centrales y se vuelve a trazar la figura en la nueva localidad.
o Las distancias de traslación
pueden especificarse como cualquier número real (positivo, negativo o cero). Si
un objeto se traslada más allá de los límites del despliegue en coordenadas del
dispositivo, el sistema podría retornar un mensaje de error, suprimir partes
del objeto que sobrepasan los límites del despliegue o presentar una imagen
distorsionada.
ROTACION
La transformación de puntos de un objeto situados
en trayectorias circulares es llama rotación. Este tipo de transformación se
especifica con un ángulo de rotación, el cual determina la cantidad de rotación
de cada vértice de un polígono.
Se pueden hacer que los objetos giren alrededor de
un punto arbitrario o el punto pivote de la transformación de rotación puede
colocarse en cualquier parte en el interior o fuera de la frontera exterior de
un objeto, el efecto de la rotación consiste en oscilar el objeto con respecto
a este punto interno.
Para rotar un objeto (en este caso bidimensional),
se ha de determinar la cantidad de grados en la que ha de rotarse la figura.
Para ello, y sin ningún tipo de variación sobre la figura, la cantidad de
ángulo ha de ser constante sobre todos los puntos.
CARACTERISTICAS
o Para generar una rotación,
se especifica el ángulo de rotación 0, y el punto de rotación (pivote) sobre el
cual el objeto será rotado.
o Los ángulos de rotación
positivos definen una rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj
sobre el punto pivote (del eje X1 al eje X2), entonces los ángulos de rotación
negativos producen una rotación en el sentido de las manecillas (del eje X2 al
eje X1).
o Las Rotaciones son
movimientos directos, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las
figuras.
o El sentido de rotación puede
ser positivo (en contra del sentido horario) o negativo (a favor del sentido
horario).
ESCALACION
Una transformación para alterar el tamaño de un objeto
se denomina escalamiento. Dependiendo del factor de escalamiento el objeto
sufrirá un cambio en su tamaño pasando a ser mayor, o menor en su segmento de
longitud. Esta es la transformación del objeto especialmente interesante, pues
con ella se consigue el efecto Zoom.
CARACTERISTICAS
o Cualquier valor numérico
positivo puede asignarse a los factores de escalación Sx y Sy.
o Los valores menores que 1
reducen el tamaño de los objetos;
o Los valores mayores que 1
producen un agrandamiento.
o Si se especifica un valor de
1 para Sx y Sy se mantiene inalterado el tamaño de los objetos.
o Cuando a Sx y Sy se les
asigna el mismo valor, se produce una escalación uniforme, la cual mantiene las
propiedades relativas del objeto a escala.
SESGADO
El sesgado es un tipo de transformación no rígida,
pues existe una deformación del objeto original al aplicar dicha
transformación. Existen dos tipos de sesgo: sesgo horizontal y sesgo
vertical.
o Sesgo
horizontal. Las coordenadas
adyacentes al eje x permanecen fijas, los valores de y no cambian.
o Sesgo
vertical. Las coordenadas
adyacentes al eje y permanecen fijas, los valores de x no cambian.
lunes, 23 de septiembre de 2019
miércoles, 18 de septiembre de 2019
Elipse
ELIPSE
DEFINICION
La elipse se define como una
línea curva cerrada tal que la suma de las distancias a dos puntos fijos, F y F' ,
llamados focos, es constante.
Elipse
Se trata de una
circunferencia achatada que se caracteriza porque la suma de
las distancias desde cualquiera de sus puntos P hasta otros dos
puntos denominados focos (F y F') es siempre la misma.
Ten en cuenta que para
cualquier punto de la elipse siempre se cumple que:
d(P,F)+d(P,F')=2⋅a
Donde d(P,F) y d(P,F') es
la distancia de un punto genérico P al foco F y
al foco F' respectivamente.
Elementos de la elipse
Los siguientes elementos se
encuentran en cada elipse:
- Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Es, además, centro
de simetría.
- Eje principal o
focal: Es el eje en el que se encuentran los focos. Es un eje de
simetría.
- Eje secundario: Es el eje perpendicular al eje principal, mediatríz del
segmento que une los focos.
- Vértices: Puntos de intersección de la elipse con los ejes.
- Distancia focal: Distancia entre los focos. Su longitud es 2·c.
- Semidistancia
focal: Distancia entre el centro y cada foco. Su longitud es c.
- Semieje mayor o
principal: Segmento
entre el centro y los vértices del eje principal. Su longitud es a.
- Semieje menor o
secundario: Segmento
entre el centro y los vértices del eje secundario. Su longitud es b y
cumple b=a2−c2−−−−−−√
- Radio vectores: Cada punto de la elipse cuenta con dos radio vectores que
son los segmentos que unen dicho punto a cada uno de los focos. Para un
punto P(x , y) se cumple que d(P , F) = a
-e·x y d(P, F') = a+e·x
Ecuación de la elipse Ecuación de eje mayor
horizontal centrada en un punto cualquiera P(x0,y0)
La ecuación de una
elipse cuyo eje mayor es horizontal viene dada por:
Donde:
- x0 , y0 :
Coordenadas x e y del centro de la
elipse
- a : Semieje de abcisas
- b : Semieje de ordenadas. En nuestro caso debe cumplirse
que b ⩽ a.
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