Curva de Bézier
Se
denomina curvas de Bézier a
un sistema que se desarrolló hacia los años 1960 para
el trazado de dibujos técnicos, en el diseño aeronáutico y en el de
automóviles. Su denominación es en honor a Pierre Bézier,
quien ideó un método de descripción matemática de las curvas que se comenzó a
utilizar con éxito en los programas de CAD.
Las Curvas
según Bézier
Las curvas de Bézier pueden tener forma recta o
realmente curva; algunos la denominan como ‘líneas de Bézier’. La forma de una
curva o línea está controlada por la posición de sus nodos y sus puntos de
control.
·
Nodo: Un
nodo no es más que un punto en el espacio que sirve para unir el principio y el
final de un trayecto. Para crear cualquier trayecto necesitamos como mínimo 2
nodos. Para crearlo basta hacer clic en la posición deseada.
·
Trayecto: es la
línea recta o curva formada por la unión de dos nodos.
·
Puntos de control: cada nodo
tiene por lo menos un punto de control, que funciona a modo de palanca,
manecilla o manejador y permite modificar el trayecto respectivo.
·
Curva: es la
suma de todos los trayectos necesarios para crear una forma y puede estar
constituída por dos o muchísimos nodos.
Historia
Las curvas de
Bézier fueron publicadas por primera vez en 1962 por el ingeniero francés Pierre
Bézier y posteriormente, trabajando en la Renault,
las usó con abundancia en el diseño de las diferentes partes del automóvil. Las
curvas fueron desarrolladas por Paul de
Casteljau usando el algoritmo que
lleva su nombre. Se trata de un método numéricamente
estable para evaluar las curvas de Bézier.
Posteriormente,
los inventores del PostScript, lenguaje que permitió el
desarrollo de sistemas de impresión de alta calidad desde el ordenador,
introdujeron en ese código el método de Bézier para la generación del código de
las curvas y los trazados. El lenguaje PostScript sigue empleándose ampliamente
y se ha convertido en un estándar de calidad universal; por ello, los programas
de diseño
vectorial como Adobe
Illustrator, el extinto Macromedia FreeHand y Corel
Draw, tres de los programas más importantes de dibujo vectorial y
otros como Inkscape, denominan «bézier» a algunas de
sus herramientas de dibujo, y se habla de «trazados bézier», «pluma bézier»,
«lápiz bézier», etc. Su facilidad de uso la ha estandarizado en el diseño gráfico, extendiéndose también a
programas de animación vectorial, como Adobe
Flash, y retoque fotográfico (bitmap),
como Photoshop y Gimp,
donde se usa para crear trazos, formas cerradas o selecciones.
La idea de
definir geométricamente las formas no es demasiado compleja: un punto del plano
puede definirse por coordenadas. Por ejemplo, un punto A tiene unas coordenadas
(x1, y1) y a un punto B le corresponde (x2,y2).
Para trazar una recta entre ambos basta con conocer su posición. Si en lugar de
unir dos puntos con una recta se unen con una curva, surgen los elementos
esenciales de una curva Bézier; los puntos se denominan «puntos de anclaje» o
«nodos». La forma de la curva se define por unos puntos invisibles en el
dibujo, denominados «puntos de control», «manejadores» o «manecillas».
Aplicaciones
Gráficos de ordenador
Las curvas de
Bézier han sido ampliamente usadas en los gráficos generados por ordenador para
modelado de curvas suaves. Como la curva está
completamente contenida en la envolvente convexa de los puntos de control,
dichos puntos pueden ser visualizados gráficamente sobre el área de trabajo y
usados para manipular la curva de una forma muy intuitiva. Las transformaciones
afines tales como traslaciones y rotaciones pueden ser aplicadas, con gran
facilidad, a las curvas, aplicando las transformaciones respectivas sobre los
puntos de control.
Las curvas
cuadráticas y cúbicas son muy corrientes. Las curvas de grados superiores son
más difíciles de evaluar. Cuanto más complejas son las superficies que se
necesitan, las curvas de bajo orden son menos apropiadas. Para garantizar la
suavidad de las curvas el punto de control en el que se juntan dos curvas y el
punto de control sobre cualquiera de los lados debe ser colineal. Esta opción
está frecuentemente desactivada en programas como Adobe
Illustrator o Inkscape.
Estas curvas poli-Bézier pueden ser observadas en el formato de archivo SVG.
El método más
simple para rasterizar una curva de Bézier es
evaluarla en muchos puntos espaciados, muy próximos entre sí, y escanearla aproximando
la secuencia de segmentos lineales.
Esta manera de
proceder no garantiza un resultado con la suficiente suavidad porque los puntos
pueden estar espaciados demasiado separados. A la inversa, se pueden generar
bastantes puntos de control en áreas donde la curva está cercana a la forma
lineal.
Un método
adoptado, muy común, es la subdivisión recursiva, en el que los puntos de
control de la curva son ajustados para ver si la curva se aproxima a segmentos
lineales sin pequeñas tolerancias. Si esto no se logra, la curva es subdividida
paramétricamente en dos segmentos y y el
mismo procedimiento se aplica por recursividad a cada mitad.
También hay
métodos que usan la diferenciación, pero se debe tener cuidado y analizar los
errores de propagación. Los métodos analíticos donde un desdoble es intersecado
con cada línea escaneada hallando raíces de polinomios de grado tres (por
segmentación cúbica) y con múltiples raíces, pero no son frecuentes en la
práctica.
Síntesis de sonido
La síntesis de
Bézier es un nuevo método de síntesis de ondas sonoras que se puede usar para
crear sonidos usando curvas de Bézier.
PRACTICA EN GEOGEBRA
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