Curvas de B-Spline

En el subcampo matemático de análisis numérico, una B-spline o Basis spline (o traducido una línea polinómica suave básica), es una función spline que tiene el mínimo soporte con respecto a un determinado grado, suavidad y partición del dominio. Un teorema fundamental establece que cada función spline de un determinado grado, suavidad y partición del dominio, se puede representar como una combinación lineal de B-splines del mismo grado y suavidad, y sobre la misma partición.

El término B-spline fue acuñado por Isaac Jacob Schoenberg y es la abreviatura de spline básica. Las B-splines pueden ser evaluadas de una manera numéricamente estable por el algoritmo de Boor. De un modo simplificado, se han creado variantes potencialmente más rápidas que el algoritmo de Boor, pero adolecen comparativamente de una menor estabilidad.

Splines (dibujo): instrumentos para el trazado de curvas.

Splines (matemática): funciones definidas como uniones de segmentos polinomiales.

En el subcampo de la informática de diseño asistido por computadora y de gráficos por computadora, el término B-spline se refiere con frecuencia a una curva parametrizada por otras funciones spline, que se expresan como combinaciones lineales de B-splines (en el sentido matemático anterior). Una B-spline es simplemente una generalización de una curva de Bézier, que puede evitar el fenómeno Runge sin necesidad de aumentar el grado de la B-spline

Propiedades de las curvas B-Spline

1-Control local: cada punto de control afecta sólo a una porción local de la curva (debido al soporte local de las bases).

2-El grado de las bases no depende de la cantidad de puntos de control.

3-Casco convexo

Ejemplos

B-spline constante

La B-spline constante es la spline más simple. Se define en un solo tramo de nudo y ni siquiera es continua en los nudos. Es sólo la función indicador de los diferentes tramos de nudo.

$b_{j,0}(t) = 1_{[t_j,t_{j+1})} = \left\{\begin{matrix} 1 & \text{si} \quad t_j \le t < t_{j+1} \\ 0 & \text{resto} \end{matrix} \right.$

B-spline lineal

La B-spline lineal se define en dos tramos de nudo consecutivos y es continua sobre los nudos, pero no diferenciable.

$b_{j,1}(t) = \left\{\begin{matrix} \frac{t - t_j}{t_{j+1} - t_j} & \text{si} \quad t_j \le t < t_{j+1} \\ \frac{t_{j+2} - t}{t_{j+2} - t_{j+1}} & \text{si} \quad t_{j+1} \le t < t_{j+2} \\ 0 & \text{resto} \end{matrix} \right.$

B-spline cuadrática Uniforme

B-splines cuadráticas con nudo-vector uniforme es una forma común de B-spline. La función de mezclado puede ser calculada fácilmente , y es igual para cada segmento, en este caso.

$b_{j,2}(t) = \begin{cases} \frac{1}{2}t^2 \\ -t^2 + t + \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}(1-t)^2 \end{cases}$

B-spline cúbica

Una formulación B-spline para un solo segmento puede ser escrita como:

$\mathbf{S}_{i} (t) = \sum_{k=0}^3 \mathbf{P}_{i-3+k} b_{i-3+k,3} (t) \mbox{ ; }\ t \in [0,1]$

donde S_i es el imo segmento B-spline y P es el conjunto de puntos de control, el segmento i y k es el índice del punto de control local. Un conjunto de puntos de control sería P $P_i^w = ( w_i x_i, w_i y_i, w_i z_i, w_i)$ donde el

w i

es el peso, tirando de la curva hacia el punto de control

P i

mientras que aumenta o se desplazan fuera de la curva, mientras que disminuye.

Toda una serie de segmentos, las curvas m-2 (

S 3, S 4,..., S m

) definidas por m+1 puntos de control ( $P_0,P_1,...,P_m, m \ge 3$ ) como un B-spline en t se definiría como:

$\mathbf{S}(t) = \sum_{i=0}^{m-1} \mathbf{P}_{i} b_{i,3} (t)$

donde i es el número de puntos de control y t es un parámetro global dado los valores de los nudos. Esta formulación expresa una curva B-spline como una combinación lineal de funciones B-spline básicas, de ahí el nombre.

Hay dos tipos de B-spline - uniforme y no uniforme. Una B-spline no uniforme es una curva donde los intervalos entre los puntos sucesivos de control no es, o no necesariamente es, iguald (el vector de nudos de espacios de nudo interiores no son iguales). Una forma común es donde los intervalos se reducen sucesivamente a cero, interpolando los puntos de control.

B-splines cúbica uniforme

La B-splines cúbica con vector-nudo uniforme es la forma más usual de B-spline. La función de mezcla puede ser fácilmente calculada, y es igual para cada segmento, en este caso. Puesto en forma de matriz, esto es:

$\mathbf{S}_i(t) = \begin{bmatrix} t^3 & t^2 & t & 1 \end{bmatrix} \frac{1}{6} \begin{bmatrix} -1 & 3 & -3 & 1 \\ 3 & -6 & 3 & 0 \\ -3 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 4 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{p}_{i-1} \\ \mathbf{p}_{i} \\ \mathbf{p}_{i+1} \\ \mathbf{p}_{i+2} \end{bmatrix}$ para $t \in [0,1].$

Curvas de Fractales

La palabra “fractal” proviene del latín fractus, que significa “fragmentado”, “fracturado”, o simplemente “roto” o “quebrado”, muy apropiado para objetos cuya dimensión es fraccionaria. El término fue acuñado por Benoît Mandelbrot en 1977 aparecido en su libro The Fractal Geometry of Nature. Al estudio de los objetos fractales se le conoce, generalmente, como geometría fractal.

Un fractal es un conjunto matemático que puede gozar de autosimilitud a cualquier escala, su dimensión no es entera o si es entera no es un entero normal. El hecho que goce de autosimilitud significa que el objeto fractal no depende del observador para ser en sí, es decir, si tomamos algunos tipos de fractales podemos comprobar que al hacer un aumento doble el dibujo es exactamente igual al inicial, si hacemos un aumento 1000 comprobaremos la misma característica, así pues si hacemos un aumento n, el dibujo resulta igual luego las partes se parecen al todo.

Un conjunto u objeto es considerado fractal cuando su tamaño se hace arbitrariamente mayor a medida que la escala del instrumento de medida disminuye.

Hay muchos objetos ordinarios que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales, aunque no los reconozcamos. Las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos son fractales naturales aunque finitos ergo no ideales; no así como los fractales matemáticos que gozan de infinidad y son ideales.

Algunas definiciones sencillas extraídas de ensayos y libros acerca del tema:

· Modelos infinitos comprimidos de alguna manera en un espacio finito

· Bellísimos y fascinantes diseños de estructura y complejidad infinita.

Resumen de las propiedades de los fractales:

· Dimensión no entera.

Como se mostrará en el apartado siguiente la dimensión de un fractal no es un número entero sino un número generalmente irracional.

· Compleja estructura a cualquier escala.

Los fractales muestran estructuras muy complejas independientemente de la escala a la cual lo observemos.

· Infinitud.

Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisión del instrumento de medición observamos que el fractal aumenta en longitud o perímetro.

· Autosimilitud en algunos casos.

Existen fractales plenamente autosimilares de manera que el todo está formado por pequeños fragmentos parecidos al todo.

Propiedades

Longitud

Si se considera de nuevo la primera figura, notamos que para pasar de una línea a la siguiente se remplaza tres segmentos por cuatro de igual longitud, o sea que la longitud total es multiplicada por 4/3. Después de n pasos iterativos en la construcción recursiva la longitud de la curva es 3·(4/3)ⁿ, el límite de la sucesión geométrica anterior de razón 4/3 es obviamente infinito, lo que significa que la figura final tiene una longitud infinita (lo que Mandelbrot denomina infinito interno). Esto está relacionado con el hecho de que la curva frontera del copo de Koch no es rectificable y tiene una dimensión fractal d > 1.

Propiedades fractales

La característica anterior, típica de muchas curvas fractales, añadida al hecho que la curva da la impresión de tener cierto espesor a causa de sus constantes cambios de dirección, sugiere que esta figura, en algún sentido, no es unidimensional. Para ello usaremos una generalización del concepto de dimensión: la dimensión fractal de Hausdorff.

Su dimensión de Hausdorff tiene que estar entre 1, la de una recta, y 2, la del plano. Para hallarla miremos la última curva: Si agrandamos (mediante una homotecia) tres veces la sección A'B' obtenemos exactamente la sección AB. En la curva final, obtendríamos la sección A'C, es decir cuatro veces la sección inicial.

Se sabe que una homotecia de razón tres multiplica las longitudes por 3, las superficies por 3² = 9, los volúmenes por 3³ = 27, y más generalmente, el "volumen" de objeto de dimensión d por 3^d. Entonces tenemos 3^d = 4 para el copo de Koch, lo que da:

$d={\frac {\ln 4}{\ln 3}}\approx 1,26186\dots$

La dimensión de homotecia anterior coincide en este caso con la dimensión fractal de Hausdorff. La configuración opuesta-complementaria de un copo de nieve de Koch o copo de nieve fractal suele ser denominada anticopo de nieve.

Graficación

lunes, 14 de octubre de 2019

Curvas