Unidad 4: relleno, iluminacion y sombreado

UNIDAD 4

RELLENO DE POLIGONOS

Polígono es una figura básica  dentro de las representaciones y tratamiento de imágenes bidimensionales y su utilización es muy interesante para modelar objetos del mundo real.

En un sentido amplio, se define como una región del espacio delimitada por  un conjunto de líneas (aristas) y cuyo interior puede estar rellenado por un color o patrón dado.

En geometría, un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el plano. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices.

En un sentido amplio, se define como una región del espacio delimitada por un conjunto de líneas (aristas) y cuyo interior puede estar rellenado por un color o patrón dado.

La tarea de rellenar a figuras primitivas puede ser dividida en dos partes: la decisión de cuáles pixeles se tienen que rellenar (que depende de la forma de la primitiva modificada por el recortado), y la decisión más sencilla de cuál valor rellenarlos.

Método de relleno de polígonos con color.

SCAN-LINE.

Fila a fila van trazando líneas de color entre aristas.

Para scan-line que cruce el polígono se busca en la intersección entre las líneas de barrido y las aristas del polígono.

Dichas intersecciones se ordenan y se rellenan a pares.

LÍNEA DE BARRIDO.

Es válido para polígonos cóncavos como convexos. Incluso para si el objeto tiene huecos interiores.

Funcionan en el trozo de líneas horizontales, denominadas líneas de barridos, que intersecan un número de veces, permitiendo a partir de ella identificar los puntos que se consideran interiores al polígono.

INUNDACIÓN.                                                           

Empieza en un interior y pinta hasta encontrar la frontera del objeto.

Partimos de un punto inicial (x,y), un color de relleno y un color de frontera.

El algoritmo va testeando los píxeles vecinos a los ya pintados, viendo si son frontera o no.

No solo sirven para polígonos, sino para cualquier área curva para cualquier imagen AE se usan los programas de dibujo.

FUERZA BRUTA.

Calcula una caja contenedora del objeto.

Hace un barrido interno de la caja para comprobar c/pixel este dentro del polígono.

Con polígonos simétricos basta con que hagamos un solo barrido en una sección y replicar los demás pixeles.

Requiere aritmética punto-flotante, esto lo hace preciso y costoso.

RELLENO MEDIANTE UN PATRÓN.

Un patrón viene definido por el área rectangular en el que cada punto tiene determinado color o nivel de gris. Este patrón debe repetirse de modo periódico dentro de la región a rellenar. Para ello debemos establecer una relación entre los puntos del patrón y los pixeles de la figura. En definitiva debemos determinar la situación inicial del patrón respecto a la figura de tal forma que podamos establecer una correspondencia entre los pixeles interiores al polígono y los puntos del patrón.

COLOR HOMOGÉNEO

La palabra homogéneo procede del griego ὁμογενής, de dónde fue tomada por el bajo latín como “homogenĕus”, integrada por “homos” que designa lo que es igual o muy similar a otra cosa, y por “genos” que referencia un género o linaje; usada en ese sentido entre los griegos, pero que en el latín comienza a extenderse su aplicación, para designar tal como hoy la entendemos, a cualquier mezcla uniforme o a toda estructura física o ideal que presente características similares.

Lo homogéneo aparece como un todo uniforme, donde los elementos que lo componen se muestran indiferenciados, usándose en varios contextos:

La homogeneidad también puede predicarse del color: “Pintemos toda la vivienda de un color homogéneo para poder retocar los defectos con mayor facilidad, guardando un poco de pintura”, "Si quieres preparar un color diferente mezclando dos o más tonos, trta de revolver bien la pintura para que quede homogénea"; o de los estilos: “La casa de mi madre está toda decorada en estilo inglés de modo homogéneo”.

En el ámbito social y cultural, podemos hablar de una sociedad homogénea cuando no existen diferencias significativas de clase, de edad, de gustos, de ideas, etcétera, entre sus miembros. Ejemplos: “El sistema comunista propone una sociedad homogénea sin diferencias de clases” o “Los niños de este curso son homogéneos en cuanto a sus aptitudes e intereses”.

COLOR DEGRADADO

El Degradado es una técnica que está especialmente vinculado con el terreno del diseño gráfico y la maquetación, con todo lo que tiene que ver con la elaboración de imágenes o su modificación. Consiste en combinar dos colores de forma que uno va perdiendo intensidad a medida que el otro la va ganando, realizando una transición cromática suave que puede conseguir resultados muy impactantes.

Una técnica muy antigua, que se suele utilizar actualmente en aspectos como el diseño web, sobre todo para fondos, como también en la elaboración de imágenes, sobre todo las de carácter promocional. En los tiempos que corren, con el auge del Flat Design, es una buena forma de dar algo más de variedad a los entornos con algo de sutileza y siempre con estilo.

Un término muy conectado con el dibujo y la ilustración, que vuelve a estar sobre la palestra por su papel dentro también del sector digital. Cualquier grafista o diseñador ha tenido que trabajar alguna vez, o lo hará, con los degradados, de ahí que prácticamente cualquier programa relacionado con la ilustración o la edición de fotos cuente con una herramienta dedicada única y exclusivamente a ellos.

A pesar de lo útil y bueno que puede ser, combinar mal a la hora de hacer un degradado puede conseguir un efecto totalmente contrario al que se persigue. Es importante tener esto siempre en cuenta para actuar con cabeza a la hora de plantear diseños que requieran de esta técnica tan tradicional como efectiva.

MATERIAL Y TEXTURA

La palabra Material etimologicamente quiere decir " relativo a la materia" por lo tanto es una caracteristica de los objetos.

En el campo del modelado 3D el material funciona de una manera similar, es un recubrimiento a modo de capa que se le aplica a un objeto modelado, con el fin de hacerlo mas realista y asi poder comprender la naturaleza de dicho objeto.

En los programas de modelado 3D, es posible simular una gran cantidad de materiales, ya sean naturales o sinteticos:

Madera

Cemento

Metal

Vidrio

Ceramica

Polimeros

Capa Vegetal

Piedra

Pintura

La textura es una propiedad que se le da a un material, es la forma en que están entrelazadas las fibras de un tejido, lo cual produce una sensación táctil, o en el caso del modelado 3D una sensación visual, que toma el cerebro y la convierte, evocando así una sensación táctil.

Las texturas en un material generan sombras las cuales ayudan a dar la apariencia tridimencional, debido a la conversión que hace el cerebro.

MODELOS BASICOS DE ILUMINACION

Una escena de animación se ilumina mediante unas propiedades globales (Luz ambiente) así como por diferentes puntos de luz (Luz puntual) que emulan otros tantos tipos de “lámparas”. Los cálculos matemáticos que se realizan con estos parámetros, aplicados a la geometría que define la escena, se asocian con el concepto de “Modelos de iluminación“.

Phong, Lambert, Fressnell, Minnaert, Toon, Oren-Nayar, Toon etc son algunos de los nombres con los que normalmente se referencian algunos de los principales modelos de iluminación.

No es necesario entender los modelos en profundidad para su uso artístico en las herramientas de creación de imagen sintética, pero es recomendable un conocimiento básico que permita entender cómo se forman las imágenes para poder anticipar resultados en su aplicación.

TECNICAS DE SOMBREADO

Intensidad constante

En ciertas condiciones, un objeto con superficies planas puede sombrearse en forma realista utilizando intensidades de superficie constantes. en el caso donde una superficie se expone solamente a la luz ambiente y no se aplican diseños, texturas o sombras de superficie, el sombreado constante genera un a representación exacta de la superficie.

Una superficie curva que se representa  como un conjunto de superficies planas puede sombrearse con intensidades de superficie constante, si los planos se subdividen la superficie se hace lo suficientemente pequeños.

Sombreado de Gouraud

 Este esquema de interpolación de intensidad, creado por gouraud, elimina discontinuidades en intensidades entre planos adyacentes de la representación de una superficie variando en forma lineal la intensidad sobre cada plano de manera que lo valores de la intensidad concuerden en las fronteras del plano. en este método los valores de la intensidad a lo largo de cada línea de rastreo que atraviesan una superficie se interpolan a partir de las intensidades en los puntos de intersección de con la superficie.

PHONG

Este método creado por Phong Bui Tuong también se conoce como esquema de interpolación de vector normal despliega toques de luz más reales sobre la superficie y reduce considerablemente el efecto de la banda de mach.

 El sombreado de Phong primero interpola los vectores normales en los puntos límite de una línea de rastreo. Puede hacerse mejoras a los modelos de sombreado de Gouraud determinando la normal aproximada a la superficie en cada punto a lo largo de una línea de rastreo y calculando después la intensidad mediante el uso del vector normal aproximado en ese punto.

GRAFICACION 3D EN NETBEANS

GRAFICACIÓN 3 D EN GEOGEBRA

Graficación 3 D

3.1 Representación de objetos en tres dimensiones

Se llaman gráficos 3D a todos los objetos que se pueden dibujar en un espacio R3 (3 dimensiones): puntos, segmentos, curvas, superficies y varios cuerpos formados por caras poligonales, así como textos y macros.

Anteriormente de la existencia de la computación grafica,  los objetos tridimensionales se han representado en dos dimensiones,  desde luego se consideraba muy firme el aspecto matemático  siguiendo las normas de la perspectiva para conseguir una representación que parezca lo más aproximada posible a la realidad o a una idea concebida en la mente de algún creador, o mediante diversas vistas correspondientes a la proyección del objeto sobre diferentes planos, acompañadas de cotas, secciones, vistas de detalle, etc. que permitan reproducir exactamente el objeto dibujado.

Un modelo 3D se ve de dos formas distintas:

·         Desde un punto de vista técnico, es un grupo de fórmulas matemáticas que describen un “mundo” en tres dimensiones.

·         

     Desde un punto de vista visual, valga la redundancia, un modelo en 3D es un representación esquemática visible a través de un conjunto de objetos, elementos y propiedades que, una vez procesados (renderización), se convertirán en una imagen en 3D o una animación 3d.

La representación de los objetos en tres dimensiones sobre una superficie plana, de manera que ofrezcan una sensación de volumen se llama Perspectiva. Se representan los objetos sobre tres ejes XYZ. En el eje Z, se representa la altura. En el eje Y, se representa la anchura y en el eje X, se representa la longitud. Los distintos tipos de perspectivas dependen de la inclinación de los planos Los sistema más utilizados son la isométrica, la caballera y la cónica.

Existen varias razones para querer representar un objeto mediante un modelo de superficie:

§  Cuando el objeto mismo es una superficie que podemos suponer sin grosor (por ejemplo, chapa metálica del capó de un vehículo). Este tipo de representación nos permite visualizar superficies abiertas, mientras que los sólidos se caracterizarán por tener su superficie necesariamente cerrada sobre sí misma.

§  Cuando tan sólo nos interesa visualizar su aspecto visual externo, sin detalles sobre su estructura interna, aunque el objeto ocupe un cierto volumen.

§  Cuando deseamos realizar una visualización en tiempo real, y para ello utilizamos hardware o software gráfico que está sólo preparado para visualizar polígonos.

Básicamente podemos representar los objetos gráficos en tres dimensiones en las siguientes  vistas.

• Modelos alámbricos

Muestra los objetos utilizando líneas y curvas para representar los contornos. Sólo contienen elementos que materializan aristas de objeto. Muy rápidos para prototipado.

Nótese que en este diseño, solo se puede visualizar los trazos, mas nunca un objeto conciso y solido pues el objetivo de esta vista básicamente es demostrativo  pero con la cualidad de mostrar la composición tanto interna como externa, es decir, una radiografía al objeto.

• Modelo de superficies

Definen caras de objeto mediante superficies (3 ó 4 lados). Permiten representar superficies curvas con un grado de  complejidad. Ahora el objeto se puede apreciar mejor pues se muestra las superficies que lo delimitan. Esta vista es demostrativa a lo que puede llegar a ser cuando el diseño esté terminado ó una vista informal del objeto pues aun no es posible gozar una apreciación completa.

•Modelo de sólidos

Representan todo el volumen de un objeto, permite análisis de propiedades físicas, creación mediante primitivas (esfera, cono, etc.), operaciones (extrusión, revolución, etc.).

Ahora el objeto goza de una apreciación completa,  pues con esta vista, casi podemos visualizar el diseño construido en la  vida real.

Esta vista se caracteriza por mostrar un trabajo final al diseño, después de haber depurado detalles y agregando otros para dar la mayor impresión de realismo.

Fases para la creación de elementos o gráficos tridimensionales.

ü  Modelado: La etapa de modelado consiste en ir dando forma a objetos individuales que luego serán usados en la escena.

ü  Iluminación: Creación de luces de diversos tipos puntuales, direccionales en área o volumen,   con distinto color o propiedades. Esto es la clave de una animación.

ü  Animación: La animación es un proceso utilizado para dar la sensación de movimiento a imágenes o dibujos o a otro tipo de objetos inanimados. Se considera normalmente una ilusión óptica.

ü  Renderizado: Se llama renderización al proceso final de generar la imagen 2D o animación a partir de la escena creada. Esto puede ser comparado a tomar una foto o en el caso de la animación, a filmar una escena de la vida real. El software de rénder puede simular efectos cinematográficos como el lens flare, la profundidad de campo, o el motion blur (desenfoque de movimiento).En computación, un modelo en 3D es: “Un mundo conceptual en tres dimensiones”.

3.2 Formas geométricas tridimensionales (superficies planas y curvas)

Las Figuras Tridimensionales son también llamados sólidos. Son una porción del espacio limitado por caras planas o curvas.  A diferencia de las figuras geométricas comunes, que solo tienen 2 dimensiones (Ancho, Largo), estas tienen 3 dimensiones adicionándole la PROFUNDIDAD.

GRAFICACION DE FRACTALES EN NETBEANS

ARBOL FRACTAL

                                                  ARBOL FRACTAL 

                                                  GRAFICACION TERMINADA

Curvas

Curvas de B-Spline

En el subcampo matemático de análisis numérico, una B-spline o Basis spline (o traducido una línea polinómica suave básica), es una función spline que tiene el mínimo soporte con respecto a un determinado grado, suavidad y partición del dominio. Un teorema fundamental establece que cada función spline de un determinado grado, suavidad y partición del dominio, se puede representar como una combinación lineal de B-splines del mismo grado y suavidad, y sobre la misma partición.​

El término B-spline fue acuñado por Isaac Jacob Schoenberg y es la abreviatura de spline básica. Las B-splines pueden ser evaluadas de una manera numéricamente estable por el algoritmo de Boor. De un modo simplificado, se han creado variantes potencialmente más rápidas que el algoritmo de Boor, pero adolecen comparativamente de una menor estabilidad.

Splines (dibujo): instrumentos para el trazado de curvas. 

Splines (matemática): funciones definidas como uniones de segmentos polinomiales. 

En el subcampo de la informática de diseño asistido por computadora y de gráficos por computadora, el término B-spline se refiere con frecuencia a una curva parametrizada por otras funciones spline, que se expresan como combinaciones lineales de B-splines (en el sentido matemático anterior). Una B-spline es simplemente una generalización de una curva de Bézier, que puede evitar el fenómeno Runge sin necesidad de aumentar el grado de la B-spline

                                                                                            

Propiedades de las curvas B-Spline

1-Control local: cada punto de control afecta sólo a una porción local de la curva (debido al soporte local de las bases). 

2-El grado de las bases no depende de la cantidad de puntos de control. 

3-Casco convexo

Ejemplos

B-spline constante

La B-spline constante es la spline más simple. Se define en un solo tramo de nudo y ni siquiera es continua en los nudos. Es sólo la función indicador de los diferentes tramos de nudo.

B-spline lineal

La B-spline lineal se define en dos tramos de nudo consecutivos y es continua sobre los nudos, pero no diferenciable.

B-spline cuadrática Uniforme

B-splines cuadráticas con nudo-vector uniforme es una forma común de B-spline. La función de mezclado puede ser calculada fácilmente , y es igual para cada segmento, en este caso.

B-spline cúbica

Una formulación B-spline para un solo segmento puede ser escrita como:

donde S_i es el imo segmento B-spline y P es el conjunto de puntos de control, el segmento i y k es el índice del punto de control local. Un conjunto de puntos de control sería P donde el w_i es el peso, tirando de la curva hacia el punto de control P_i mientras que aumenta o se desplazan fuera de la curva, mientras que disminuye.

Toda una serie de segmentos, las curvas m-2 (S₃,S₄,...,S_m) definidas por m+1 puntos de control () como un B-spline en t se definiría como:

donde i es el número de puntos de control y t es un parámetro global dado los valores de los nudos. Esta formulación expresa una curva B-spline como una combinación lineal de funciones B-spline básicas, de ahí el nombre.

Hay dos tipos de B-spline - uniforme y no uniforme. Una B-spline no uniforme es una curva donde los intervalos entre los puntos sucesivos de control no es, o no necesariamente es, iguald (el vector de nudos de espacios de nudo interiores no son iguales). Una forma común es donde los intervalos se reducen sucesivamente a cero, interpolando los puntos de control.

B-splines cúbica uniforme

La B-splines cúbica con vector-nudo uniforme es la forma más usual de B-spline. La función de mezcla puede ser fácilmente calculada, y es igual para cada segmento, en este caso. Puesto en forma de matriz, esto es:

 para 

Curvas de Fractales

La palabra “fractal” proviene del latín fractus, que significa “fragmentado”, “fracturado”, o simplemente “roto” o “quebrado”, muy apropiado para objetos cuya dimensión es fraccionaria. El término fue acuñado por Benoît Mandelbrot en 1977 aparecido en su libro The Fractal Geometry of Nature. Al estudio de los objetos fractales se le conoce, generalmente, como geometría fractal.

Un fractal es un conjunto matemático que puede gozar de autosimilitud a cualquier escala, su dimensión no es entera o si es entera no es un entero normal. El hecho que goce de autosimilitud significa que el objeto fractal no depende del observador para ser en sí, es decir, si tomamos algunos tipos de fractales podemos comprobar que al hacer un aumento doble el dibujo es exactamente igual al inicial, si hacemos un aumento 1000 comprobaremos la misma característica, así pues si hacemos un aumento n, el dibujo resulta igual luego las partes se parecen al todo.

Un conjunto u objeto es considerado fractal cuando su tamaño se hace arbitrariamente mayor a medida que la escala del instrumento de medida disminuye.  

Hay muchos objetos ordinarios que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales, aunque no los reconozcamos. Las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos son fractales naturales aunque finitos ergo no ideales; no así como los fractales matemáticos que gozan de infinidad y son ideales.

Algunas definiciones sencillas extraídas de ensayos y libros acerca del tema:

·                     Modelos infinitos comprimidos de alguna manera en un espacio finito

·                     Bellísimos y fascinantes diseños de estructura y complejidad infinita.

Resumen de las propiedades de los fractales:

·                     Dimensión no entera.

Como se mostrará en el apartado siguiente la dimensión de un fractal no es un número entero sino un número generalmente irracional.

·                     Compleja estructura a cualquier escala.

Los fractales muestran estructuras muy complejas independientemente de la escala a la cual lo observemos.

·                     Infinitud.

Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisión del instrumento de medición observamos que el fractal aumenta en longitud o perímetro.

·                     Autosimilitud en algunos casos.

Existen fractales plenamente autosimilares de manera que el todo está formado por pequeños fragmentos parecidos al todo.

Propiedades

Longitud

Si se considera de nuevo la primera figura, notamos que para pasar de una línea a la siguiente se remplaza tres segmentos por cuatro de igual longitud, o sea que la longitud total es multiplicada por 4/3. Después de n pasos iterativos en la construcción recursiva la longitud de la curva es 3·(4/3)ⁿ, el límite de la sucesión geométrica anterior de razón 4/3 es obviamente infinito, lo que significa que la figura final tiene una longitud infinita (lo que Mandelbrot denomina infinito interno). Esto está relacionado con el hecho de que la curva frontera del copo de Koch no es rectificable y tiene una dimensión fractal d > 1.

Propiedades fractales

La característica anterior, típica de muchas curvas fractales, añadida al hecho que la curva da la impresión de tener cierto espesor a causa de sus constantes cambios de dirección, sugiere que esta figura, en algún sentido, no es unidimensional. Para ello usaremos una generalización del concepto de dimensión: la dimensión fractal de Hausdorff.

Su dimensión de Hausdorff tiene que estar entre 1, la de una recta, y 2, la del plano. Para hallarla miremos la última curva: Si agrandamos (mediante una homotecia) tres veces la sección A'B' obtenemos exactamente la sección AB. En la curva final, obtendríamos la sección A'C, es decir cuatro veces la sección inicial.

Se sabe que una homotecia de razón tres multiplica las longitudes por 3, las superficies por 3² = 9, los volúmenes por 3³ = 27, y más generalmente, el "volumen" de objeto de dimensión d por 3^d. Entonces tenemos 3^d = 4 para el copo de Koch, lo que da:

${\displaystyle d={\frac {\ln 4}{\ln 3}}\approx 1,26186\dots }$

La dimensión de homotecia anterior coincide en este caso con la dimensión fractal de Hausdorff. La configuración opuesta-complementaria de un copo de nieve de Koch o copo de nieve fractal suele ser denominada anticopo de nieve.