Graficación 3 D

3.1 Representación de objetos en tres dimensiones

Se llaman gráficos 3D a todos los objetos que se pueden dibujar en un espacio R3 (3 dimensiones): puntos, segmentos, curvas, superficies y varios cuerpos formados por caras poligonales, así como textos y macros.

Anteriormente de la existencia de la computación grafica,  los objetos tridimensionales se han representado en dos dimensiones,  desde luego se consideraba muy firme el aspecto matemático  siguiendo las normas de la perspectiva para conseguir una representación que parezca lo más aproximada posible a la realidad o a una idea concebida en la mente de algún creador, o mediante diversas vistas correspondientes a la proyección del objeto sobre diferentes planos, acompañadas de cotas, secciones, vistas de detalle, etc. que permitan reproducir exactamente el objeto dibujado.

Un modelo 3D se ve de dos formas distintas:

·         Desde un punto de vista técnico, es un grupo de fórmulas matemáticas que describen un “mundo” en tres dimensiones.

·         

     Desde un punto de vista visual, valga la redundancia, un modelo en 3D es un representación esquemática visible a través de un conjunto de objetos, elementos y propiedades que, una vez procesados (renderización), se convertirán en una imagen en 3D o una animación 3d.

La representación de los objetos en tres dimensiones sobre una superficie plana, de manera que ofrezcan una sensación de volumen se llama Perspectiva. Se representan los objetos sobre tres ejes XYZ. En el eje Z, se representa la altura. En el eje Y, se representa la anchura y en el eje X, se representa la longitud. Los distintos tipos de perspectivas dependen de la inclinación de los planos Los sistema más utilizados son la isométrica, la caballera y la cónica.

Existen varias razones para querer representar un objeto mediante un modelo de superficie:

§  Cuando el objeto mismo es una superficie que podemos suponer sin grosor (por ejemplo, chapa metálica del capó de un vehículo). Este tipo de representación nos permite visualizar superficies abiertas, mientras que los sólidos se caracterizarán por tener su superficie necesariamente cerrada sobre sí misma.

§  Cuando tan sólo nos interesa visualizar su aspecto visual externo, sin detalles sobre su estructura interna, aunque el objeto ocupe un cierto volumen.

§  Cuando deseamos realizar una visualización en tiempo real, y para ello utilizamos hardware o software gráfico que está sólo preparado para visualizar polígonos.

Básicamente podemos representar los objetos gráficos en tres dimensiones en las siguientes  vistas.

• Modelos alámbricos

Muestra los objetos utilizando líneas y curvas para representar los contornos. Sólo contienen elementos que materializan aristas de objeto. Muy rápidos para prototipado.

Nótese que en este diseño, solo se puede visualizar los trazos, mas nunca un objeto conciso y solido pues el objetivo de esta vista básicamente es demostrativo  pero con la cualidad de mostrar la composición tanto interna como externa, es decir, una radiografía al objeto.

• Modelo de superficies

Definen caras de objeto mediante superficies (3 ó 4 lados). Permiten representar superficies curvas con un grado de  complejidad. Ahora el objeto se puede apreciar mejor pues se muestra las superficies que lo delimitan. Esta vista es demostrativa a lo que puede llegar a ser cuando el diseño esté terminado ó una vista informal del objeto pues aun no es posible gozar una apreciación completa.

•Modelo de sólidos

Representan todo el volumen de un objeto, permite análisis de propiedades físicas, creación mediante primitivas (esfera, cono, etc.), operaciones (extrusión, revolución, etc.).

Ahora el objeto goza de una apreciación completa,  pues con esta vista, casi podemos visualizar el diseño construido en la  vida real.

Esta vista se caracteriza por mostrar un trabajo final al diseño, después de haber depurado detalles y agregando otros para dar la mayor impresión de realismo.

Fases para la creación de elementos o gráficos tridimensionales.

ü  Modelado: La etapa de modelado consiste en ir dando forma a objetos individuales que luego serán usados en la escena.

ü  Iluminación: Creación de luces de diversos tipos puntuales, direccionales en área o volumen,   con distinto color o propiedades. Esto es la clave de una animación.

ü  Animación: La animación es un proceso utilizado para dar la sensación de movimiento a imágenes o dibujos o a otro tipo de objetos inanimados. Se considera normalmente una ilusión óptica.

ü  Renderizado: Se llama renderización al proceso final de generar la imagen 2D o animación a partir de la escena creada. Esto puede ser comparado a tomar una foto o en el caso de la animación, a filmar una escena de la vida real. El software de rénder puede simular efectos cinematográficos como el lens flare, la profundidad de campo, o el motion blur (desenfoque de movimiento).En computación, un modelo en 3D es: “Un mundo conceptual en tres dimensiones”.

3.2 Formas geométricas tridimensionales (superficies planas y curvas)

Las Figuras Tridimensionales son también llamados sólidos. Son una porción del espacio limitado por caras planas o curvas.  A diferencia de las figuras geométricas comunes, que solo tienen 2 dimensiones (Ancho, Largo), estas tienen 3 dimensiones adicionándole la PROFUNDIDAD.

GRAFICACION DE FRACTALES EN NETBEANS

ARBOL FRACTAL

                                                  ARBOL FRACTAL 

                                                  GRAFICACION TERMINADA

Curvas

Curvas de B-Spline

En el subcampo matemático de análisis numérico, una B-spline o Basis spline (o traducido una línea polinómica suave básica), es una función spline que tiene el mínimo soporte con respecto a un determinado grado, suavidad y partición del dominio. Un teorema fundamental establece que cada función spline de un determinado grado, suavidad y partición del dominio, se puede representar como una combinación lineal de B-splines del mismo grado y suavidad, y sobre la misma partición.​

El término B-spline fue acuñado por Isaac Jacob Schoenberg y es la abreviatura de spline básica. Las B-splines pueden ser evaluadas de una manera numéricamente estable por el algoritmo de Boor. De un modo simplificado, se han creado variantes potencialmente más rápidas que el algoritmo de Boor, pero adolecen comparativamente de una menor estabilidad.

Splines (dibujo): instrumentos para el trazado de curvas. 

Splines (matemática): funciones definidas como uniones de segmentos polinomiales. 

En el subcampo de la informática de diseño asistido por computadora y de gráficos por computadora, el término B-spline se refiere con frecuencia a una curva parametrizada por otras funciones spline, que se expresan como combinaciones lineales de B-splines (en el sentido matemático anterior). Una B-spline es simplemente una generalización de una curva de Bézier, que puede evitar el fenómeno Runge sin necesidad de aumentar el grado de la B-spline

                                                                                            

Propiedades de las curvas B-Spline

1-Control local: cada punto de control afecta sólo a una porción local de la curva (debido al soporte local de las bases). 

2-El grado de las bases no depende de la cantidad de puntos de control. 

3-Casco convexo

Ejemplos

B-spline constante

La B-spline constante es la spline más simple. Se define en un solo tramo de nudo y ni siquiera es continua en los nudos. Es sólo la función indicador de los diferentes tramos de nudo.

B-spline lineal

La B-spline lineal se define en dos tramos de nudo consecutivos y es continua sobre los nudos, pero no diferenciable.

B-spline cuadrática Uniforme

B-splines cuadráticas con nudo-vector uniforme es una forma común de B-spline. La función de mezclado puede ser calculada fácilmente , y es igual para cada segmento, en este caso.

B-spline cúbica

Una formulación B-spline para un solo segmento puede ser escrita como:

donde S_i es el imo segmento B-spline y P es el conjunto de puntos de control, el segmento i y k es el índice del punto de control local. Un conjunto de puntos de control sería P donde el w_i es el peso, tirando de la curva hacia el punto de control P_i mientras que aumenta o se desplazan fuera de la curva, mientras que disminuye.

Toda una serie de segmentos, las curvas m-2 (S₃,S₄,...,S_m) definidas por m+1 puntos de control () como un B-spline en t se definiría como:

donde i es el número de puntos de control y t es un parámetro global dado los valores de los nudos. Esta formulación expresa una curva B-spline como una combinación lineal de funciones B-spline básicas, de ahí el nombre.

Hay dos tipos de B-spline - uniforme y no uniforme. Una B-spline no uniforme es una curva donde los intervalos entre los puntos sucesivos de control no es, o no necesariamente es, iguald (el vector de nudos de espacios de nudo interiores no son iguales). Una forma común es donde los intervalos se reducen sucesivamente a cero, interpolando los puntos de control.

B-splines cúbica uniforme

La B-splines cúbica con vector-nudo uniforme es la forma más usual de B-spline. La función de mezcla puede ser fácilmente calculada, y es igual para cada segmento, en este caso. Puesto en forma de matriz, esto es:

 para 

Curvas de Fractales

La palabra “fractal” proviene del latín fractus, que significa “fragmentado”, “fracturado”, o simplemente “roto” o “quebrado”, muy apropiado para objetos cuya dimensión es fraccionaria. El término fue acuñado por Benoît Mandelbrot en 1977 aparecido en su libro The Fractal Geometry of Nature. Al estudio de los objetos fractales se le conoce, generalmente, como geometría fractal.

Un fractal es un conjunto matemático que puede gozar de autosimilitud a cualquier escala, su dimensión no es entera o si es entera no es un entero normal. El hecho que goce de autosimilitud significa que el objeto fractal no depende del observador para ser en sí, es decir, si tomamos algunos tipos de fractales podemos comprobar que al hacer un aumento doble el dibujo es exactamente igual al inicial, si hacemos un aumento 1000 comprobaremos la misma característica, así pues si hacemos un aumento n, el dibujo resulta igual luego las partes se parecen al todo.

Un conjunto u objeto es considerado fractal cuando su tamaño se hace arbitrariamente mayor a medida que la escala del instrumento de medida disminuye.  

Hay muchos objetos ordinarios que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales, aunque no los reconozcamos. Las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos son fractales naturales aunque finitos ergo no ideales; no así como los fractales matemáticos que gozan de infinidad y son ideales.

Algunas definiciones sencillas extraídas de ensayos y libros acerca del tema:

·                     Modelos infinitos comprimidos de alguna manera en un espacio finito

·                     Bellísimos y fascinantes diseños de estructura y complejidad infinita.

Resumen de las propiedades de los fractales:

·                     Dimensión no entera.

Como se mostrará en el apartado siguiente la dimensión de un fractal no es un número entero sino un número generalmente irracional.

·                     Compleja estructura a cualquier escala.

Los fractales muestran estructuras muy complejas independientemente de la escala a la cual lo observemos.

·                     Infinitud.

Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisión del instrumento de medición observamos que el fractal aumenta en longitud o perímetro.

·                     Autosimilitud en algunos casos.

Existen fractales plenamente autosimilares de manera que el todo está formado por pequeños fragmentos parecidos al todo.

Propiedades

Longitud

Si se considera de nuevo la primera figura, notamos que para pasar de una línea a la siguiente se remplaza tres segmentos por cuatro de igual longitud, o sea que la longitud total es multiplicada por 4/3. Después de n pasos iterativos en la construcción recursiva la longitud de la curva es 3·(4/3)ⁿ, el límite de la sucesión geométrica anterior de razón 4/3 es obviamente infinito, lo que significa que la figura final tiene una longitud infinita (lo que Mandelbrot denomina infinito interno). Esto está relacionado con el hecho de que la curva frontera del copo de Koch no es rectificable y tiene una dimensión fractal d > 1.

Propiedades fractales

La característica anterior, típica de muchas curvas fractales, añadida al hecho que la curva da la impresión de tener cierto espesor a causa de sus constantes cambios de dirección, sugiere que esta figura, en algún sentido, no es unidimensional. Para ello usaremos una generalización del concepto de dimensión: la dimensión fractal de Hausdorff.

Su dimensión de Hausdorff tiene que estar entre 1, la de una recta, y 2, la del plano. Para hallarla miremos la última curva: Si agrandamos (mediante una homotecia) tres veces la sección A'B' obtenemos exactamente la sección AB. En la curva final, obtendríamos la sección A'C, es decir cuatro veces la sección inicial.

Se sabe que una homotecia de razón tres multiplica las longitudes por 3, las superficies por 3² = 9, los volúmenes por 3³ = 27, y más generalmente, el "volumen" de objeto de dimensión d por 3^d. Entonces tenemos 3^d = 4 para el copo de Koch, lo que da:

${\displaystyle d={\frac {\ln 4}{\ln 3}}\approx 1,26186\dots }$

La dimensión de homotecia anterior coincide en este caso con la dimensión fractal de Hausdorff. La configuración opuesta-complementaria de un copo de nieve de Koch o copo de nieve fractal suele ser denominada anticopo de nieve.

PROYECTO CURVAS DE BEZIER

IMAGEN EN GEOGEBRA

PROYECTO REALIZADO

Lineas de Bèizer

Curva de Bézier

Se denomina curvas de Bézier a un sistema que se desarrolló hacia los años 1960 para el trazado de dibujos técnicos, en el diseño aeronáutico y en el de automóviles. Su denominación es en honor a Pierre Bézier, quien ideó un método de descripción matemática de las curvas que se comenzó a utilizar con éxito en los programas de CAD.

Las Curvas según Bézier

Las curvas de Bézier pueden tener forma recta o realmente curva; algunos la denominan como ‘líneas de Bézier’. La forma de una curva o línea está controlada por la posición de sus nodos y sus puntos de control.

·         Nodo: Un nodo no es más que un punto en el espacio que sirve para unir el principio y el final de un trayecto. Para crear cualquier trayecto necesitamos como mínimo 2 nodos. Para crearlo basta hacer clic en la posición deseada.

·         Trayecto: es la línea recta o curva formada por la unión de dos nodos.

·         Puntos de control: cada nodo tiene por lo menos un punto de control, que funciona a modo de palanca, manecilla o manejador y permite modificar el trayecto respectivo.

·         Curva: es la suma de todos los trayectos necesarios para crear una forma y puede estar constituída por dos o muchísimos nodos.

Historia

Las curvas de Bézier fueron publicadas por primera vez en 1962 por el ingeniero francés Pierre Bézier y posteriormente, trabajando en la Renault, las usó con abundancia en el diseño de las diferentes partes del automóvil. Las curvas fueron desarrolladas por Paul de Casteljau usando el algoritmo que lleva su nombre. Se trata de un método numéricamente estable para evaluar las curvas de Bézier.

Posteriormente, los inventores del PostScript, lenguaje que permitió el desarrollo de sistemas de impresión de alta calidad desde el ordenador, introdujeron en ese código el método de Bézier para la generación del código de las curvas y los trazados. El lenguaje PostScript sigue empleándose ampliamente y se ha convertido en un estándar de calidad universal; por ello, los programas de diseño vectorial como Adobe Illustrator, el extinto Macromedia FreeHand y Corel Draw, tres de los programas más importantes de dibujo vectorial y otros como Inkscape, denominan «bézier» a algunas de sus herramientas de dibujo, y se habla de «trazados bézier», «pluma bézier», «lápiz bézier», etc. Su facilidad de uso la ha estandarizado en el diseño gráfico, extendiéndose también a programas de animación vectorial, como Adobe Flash, y retoque fotográfico (bitmap), como Photoshop y Gimp, donde se usa para crear trazos, formas cerradas o selecciones.

La idea de definir geométricamente las formas no es demasiado compleja: un punto del plano puede definirse por coordenadas. Por ejemplo, un punto A tiene unas coordenadas (x₁, y₁) y a un punto B le corresponde (x₂,y₂). Para trazar una recta entre ambos basta con conocer su posición. Si en lugar de unir dos puntos con una recta se unen con una curva, surgen los elementos esenciales de una curva Bézier; los puntos se denominan «puntos de anclaje» o «nodos». La forma de la curva se define por unos puntos invisibles en el dibujo, denominados «puntos de control», «manejadores» o «manecillas».

Aplicaciones

Gráficos de ordenador

Las curvas de Bézier han sido ampliamente usadas en los gráficos generados por ordenador para modelado de curvas suaves. Como la curva está completamente contenida en la envolvente convexa de los puntos de control, dichos puntos pueden ser visualizados gráficamente sobre el área de trabajo y usados para manipular la curva de una forma muy intuitiva. Las transformaciones afines tales como traslaciones y rotaciones pueden ser aplicadas, con gran facilidad, a las curvas, aplicando las transformaciones respectivas sobre los puntos de control.

Las curvas cuadráticas y cúbicas son muy corrientes. Las curvas de grados superiores son más difíciles de evaluar. Cuanto más complejas son las superficies que se necesitan, las curvas de bajo orden son menos apropiadas. Para garantizar la suavidad de las curvas el punto de control en el que se juntan dos curvas y el punto de control sobre cualquiera de los lados debe ser colineal. Esta opción está frecuentemente desactivada en programas como Adobe Illustrator o Inkscape. Estas curvas poli-Bézier pueden ser observadas en el formato de archivo SVG.

El método más simple para rasterizar una curva de Bézier es evaluarla en muchos puntos espaciados, muy próximos entre sí, y escanearla aproximando la secuencia de segmentos lineales.

Esta manera de proceder no garantiza un resultado con la suficiente suavidad porque los puntos pueden estar espaciados demasiado separados. A la inversa, se pueden generar bastantes puntos de control en áreas donde la curva está cercana a la forma lineal.

Un método adoptado, muy común, es la subdivisión recursiva, en el que los puntos de control de la curva son ajustados para ver si la curva se aproxima a segmentos lineales sin pequeñas tolerancias. Si esto no se logra, la curva es subdividida paramétricamente en dos segmentos ${\displaystyle 0\leq t\leq 0.5}$ y ${\displaystyle 0.5\leq t\leq 1}$ y el mismo procedimiento se aplica por recursividad a cada mitad.

También hay métodos que usan la diferenciación, pero se debe tener cuidado y analizar los errores de propagación. Los métodos analíticos donde un desdoble es intersecado con cada línea escaneada hallando raíces de polinomios de grado tres (por segmentación cúbica) y con múltiples raíces, pero no son frecuentes en la práctica.

Síntesis de sonido

La síntesis de Bézier es un nuevo método de síntesis de ondas sonoras que se puede usar para crear sonidos usando curvas de Bézier.

PRACTICA EN GEOGEBRA